Géologie, minéralogie, nature en région P.A.C.A.
Notions de cristallographie
Lois fondamentales
Ce sont deux lois d’observation simples qui sont à l’origine de la cristallographie géométrique actuelle : la loi de la constance des angles (Sténon et Romé de L’Isle - 1772) et la loi de la stratification multiple (Haüy - 1784)
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La loi de la constance des angles
« Dans une même espèce cristalline, l’angle dièdre de faces correspondantes est constant »
C’est en 1669, en étudiant des cristaux de quartz, que Nicolas Sténon (1638-1686) remarqua que leurs faces forment toujours les mêmes angles entre elles. Cette découverte fut reprise par Jean-Baptiste Romé de L'Isle (1736 - 1790) qui l’a généralisée à l'ensemble des cristaux ouvrant ainsi la voie de la cristallographie moderne.
Cette loi évoque le fait que l’ensemble des angles entre couples de faces homologues est invariant pour tous les cristaux d’une même espèce, quel que soit le développement des faces.
Elle implique aussi, par corollaire, que toutes le faisceau de demi-droites normales aux faces est aussi invariant quant à leurs angles mutuels.
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La loi de stratification multiple
« Un cristal d’une même espèce est constituée par la juxtaposition de parallélépipèdes élémentaires tous identiques entre eux et caractéristiques de l’espèce »
C’est en clivant de la calcite que René Just Haüy (1743 - 1822) arriva à cette hypothèse. En effet il obtint des rhomboèdres tus semblables quel que soit le faciès de départ. En continuant son expérience dans de très petites tailles, le constat fut le même, des rhomboèdres morphologiquement invariants. Fort de ses résultats, sur le modèle de l’hypothèse atomique il imagina une taille limite : la « molécule intégrante ».
En ré-empilant judicieusement ces « molécules intégrantes » il fut en mesure de reconstituer les faciès de départ des cristaux.
Ces travaux et ces observations, qui furent les balbutiements de la règle de troncature rationnelle des faces et évoquent la nature réticulaire des cristaux, ont été confirmés avec éclat par les travaux sur la diffraction des rayons X de Max von Laue (1879 - 1960).
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Les réseaux cristallins
Impossible de parler cristallographie sans évoquer les réseaux cristallins, même si c’est assez … indigeste. Mais tout d'abord ...
Vocabulaire
Maille
C’est l’enveloppe du plus petit parallélépipède de matière cristallisée qui conserve toutes les propriétés du cristal et contient assez d’atomes pour respecter sa composition.
Motif
C’est le contenu de la maille
Nœud
C’est un sommet de la maille
Paramètres
Ca se complique ! La géométrie de la maille se définie par 3 vecteurs (A, B et C) issus d’un même nœud et portés par trois directions (Ox, Oy et Oz). Leurs trois longueurs sont les paramètres de la maille. Du coup, trois angles (a, b et g) suffisent pour définir ces vecteurs.
En mathématiques on écrit :
a=|A| ; b=|B| et c=|C|
a=(B,C) ; b=(C,A) et g=(A,B)
Réseau cristallin périodique
C’est le réseau issu d’un nœud quelconque obtenu par la translation de la maille d’origine
Rangée
C’est une droite passant par deux nœuds quelconques (et donc une infinité puisque le réseau est périodique !)
Plan réticulaire
C’est un plan défini par trois nœuds n’étant pas sur une même rangée.
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Appliquons tout ça ...
La particularité de ces plans réside dans le fait que ce sont eux qui sont déterminés par les indices de Miller. Pour cela, rien de plus simple …
On considère un plan PQR passant par les nœuds A1, A2 et A3 situés sur les trois axes Ox, Oy et Oz issus de l’origine de la maille O.
On a donc A1 (p,0,0) intersection du plan avec l’axe des abscisses
A2(0,q,0) intersection du plan avec l’axe des ordonnées
A3 (0,0,r) intersection du plan avec l’axe des cotés
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L’équation de ce plan est x/p+y/r+z/r=1 , on obtient une équation équivalente en multipliant tous les coefficients de cette équation par le PPCM de p, q, r, de sorte que l'équation du plan ainsi obtenue devient à coefficients entiers.
On pose donc : h=PPCM(p,q,r)/p
k=(PPCM(p,q,r))/q
l=(PPCM(p,q,r))/r
Les trois nombres ainsi obtenus sont les indices de Miller et correspondent aux inverses des longueurs découpées sur les axes par le premier plan de la famille des plans réticulaires. Si la maille utilisée pour représenter le réseau est une primitive, alors ils sont premiers entre eux. On les note entre parenthèses et on surligne ceux qui sont négatifs.
Notes importantes :
- si le plan réticulaire est parallèle à un axe, l'indice de Miller correspondant est nul.
- pour les systèmes hexagonal et trigonal, on définit un quatrième indice pour désigner les plans (hkil) ; c'est la notation de Bravais-Miller. L'indice i, placé en troisième position est défini par
i = -h - k
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Les symétries cristallines
Les opérateurs de symétrie
Toute figure est dite symétrique si elle peut être superposée à elle-même par le jeu d’un ou plusieurs opérateurs de symétrie : axes, plans ou centre de symétrie.
Les axes de symétrie directs et inverses
Une opération de symétrie avec un axe direct amène le cristal en coïncidence avec lui-même par rotation autour de cet axe.
L’axe An est une rotation d’un angle de an=2P/n appelé ordre de l’axe, avec n=2, 3, 4 et 6. On a donc :
A2 axe binaire direct a2=180°
A3 axe ternaire direct a3=120°
A4 axe quaternaire direct a4=90°
A6 axe sénaire direct a6=60°
Il faut noter que l’axe A1 est un opérateur d’identité (rotation à 360°), et les axes A5 et An avec n>6 ne sont pas compatibles avec la translation de réseau.
Une opération de symétrie avec un axe inverse amène le cristal en coïncidence avec lui-même par rotation autour de cet axe d’un angle de an=2P/n et d’une inversion par rapport à un point de cet axe. Les ordres d’axe sont aussi n=2, 3, 4 et 6. On a donc :
¯A1 axe unitaire inverse a1=360°+inversion Equivaut à une inversion seule, opération de centre de symétrie C
¯A2 axe binaire inverse a2=180°+inversion Equivaut à un plan ou un miroir de symétrie M
¯A3 axe ternaire inverse a3=120°+inversion Equivaut à une combinaison A3C
¯A4 axe quaternaire inverse a4=90°+inversion
¯A6 axe sénaire inverse a6=60°+inversion Equivaut à la combinaison d’un A3 et d’un miroir perpendiculaire à cet axe :
NB : pour une notation normale il faudrait surligner le "A" mais cela semble impossible ici.
Plan et centre de symétrie
Un plan de symétrie M fait correspondre un cristal à son image par le miroir qui correspond. Cette opération est identique à . C’est l’énantiomorphisme.
Le centre de symétrie C fait correspondre au cristal son inverse à travers un point C. Cette opération est équivalente à A-1.
Les opérateurs de symétrie peuvent donc être identifiés comme des axes directs ou inverses. Il est néanmoins préférable de conserver les notions de centre et de miroir, parlantes et facilement identifiables
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Réseaux cristallins et classes de symétrie
L’ensemble des observations mathématiques vues dans la partie I a permis de distinguer 32 groupes (ou classes de symétrie ponctuelle). Ces classes de symétrie sont regroupées dans 7 supergroupes nommés « systèmes cristallins » :
Système triclinique : Pas de M ni de +/-An ou de An avec n>1
Système monoclinique : Un M et/ou un A2
Système orthorhombique : Plusieurs A2 et/ou M ; pas de An avec n>2
Système quadratique : Un seul A4 ou ¯A4
Système rhomboèdrique : Un seul A3 ou ¯A3
Système hexagonal : Un seul A6 ou ¯A6
Système cubique : Plusieurs A3
Le terme de « holoèdre » désigne le groupe de symétrie maximum. Elle admet donc tous les éléments de symétrie du réseau. « Mérièdre » est utilisé pour toutes les autres classes de symétrie, en distinguant « hémiédries » pour la moitié de l’holoédrie, de « tétartoédries » pour un quart de l’holoédrie.
Bravais, ces réseaux et les sept systèmes cristallins
Les réseaux doivent avoir la même symétrie que l’holoèdre du système cristallin qui correspond. Le plus souvent, un réseau est issu d’une maille simple, une maille un nœud, mais dans certains cas il faut introduire un nouveau type de réseau issu de mailles multiples, une maille plusieurs nœuds, pour respecter la symétrie holoèdre.
Auguste Bravais (1811 – 1863) dans son « Étude sur la cristallographie » (1851) en a défini les tenants et les aboutissants en décrivant les 7 systèmes cristallins et les 14 réseaux de Bravais que nous allons aborder ci-après sans toutefois entrer dans des considérations purement mathématiques…
Systèmes et classes de symétrie
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a≠b≠c
a, b, g quelconques
Un seul mode : P (primitif)
- Holoèdrie -1 : le pinacoïde ne peut être seul car la forme n'est pas fermée
Minéraux concernés : albite, chalcanthite, anorthite
- Hémiédrie 1 : le pinacoïde ne peut être seul car la forme n'est pas fermée
Minéraux concernés : très rares
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a≠b≠c
a=g, b>90°
Position des mailles : b//A2 ; a et c ∈ M
Deux modes de réseau : P (primitif) et C (face (001) centrée)
- Holoèdrie 2/m : prisme monoclinique, non terminé
Minéraux concernés : orthose, micas, gypse, realgar, orpiment
- Hémiédrie énantiomorphe 2 : dièdre, non terminé
Minéraux concernés : très rares, connus en matières organiques (lactose, saccharose, acide tartrique, ...)
- Hémiédrie superposable m : dièdre, non terminé
Minéraux concernés : rares (scolecite)
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a≠b≠c
a=b=g=90°
Position des mailles : a, b et c selon les A2
Quatre modes de réseau : P (primitif), C (face (001) centrée), I (volume centré) et F (toutes les faces centrées)
- Holoèdrie mmm : dipyramide orthorhombique, forme terminée
Minéraux concernés : soufre, marcasite, baryte, ...
- Hémiédrie énantiomorphe 222 : tétraèdre orthorhombique, forme terminée
Minéraux concernés : olivenite, epsomite, ...
- Hémiédrie pyramidale mm2 : pyramide orthorhombique, non terminé
Minéraux concernés :hemimorphite, ...
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